В статье по ссылке есть видео, на котором видно два слайда из презентации. По ним можно примерно восстановить доказательство. Оно правильное и оригинальное, мне такое раньше не встречалось.

Но без тригонометрии там, конечно, не обошлось. Они неявно тангенс β использовали (ну или подобные треугольники, из которых этот тангенс следует), чтоб получить 2a²c/b².

Такое вообще часто происходит — доказываешь что-то про треугольники, а вылезает доказательство теоремы Пифагора. Ну или вообще доказательство того, что 1=1.