Забавный парадокс

[michaelkoloboff]

Есть 2 шкатулки: в одной Х денег, в другой 2Х.
Выбираете любую, открываете, видите сумму Y.
Теперь надо сделать окончательный выбор - либо взять Y из первой шкатулки, либо содержимое второй (в ней либо 2Y, либо Y/2).
Очевидно, надо брать из второй: матожидание из второй = 2Y*0.5 + Y/2*0.5 = 1.25 - в среднем выигрыш на 25% больше, по сравнению с "не менять".
Видоизменяем опыт: выбираем первую шкатулку, но не открываем, а просто считаем, что там сумма Y, дальше проделываем те же рассуждения, и снова оказывается, что очередь в соседнюю кассу движется быстрее смена шкатулки дает на 25% больше выигрыша.

Comments

[ymarkov]

Чё-то как-то странно Ваши математики ожидают. Не по-людски.

:-)

[michaelkoloboff]

Вроде выглядит правильно, так сходу не вижу странного.
Странность начнется, если продолжить менять шкатулки (не открывая) :-)

[rampitec]

Кажется надо 3X принять за 1 для того, чтобы вообще применять формулу матожидания. А то синус к 2-м стремится.

[michaelkoloboff]

Two envelopes problem, оказывается.
Мне понравилось тем, что лажа совершенно очевидна (в силу симметрии, но можно и математически в одно действие: МО конверта 1 = МО конверта 2 = 1.5), но вот объяснение парадокса на 10 экранах наоборот больше запутывает чем проясняет.

[rampitec]

Так формула МО для целых чисел применима при условии, что сумма всех исходов, помноженных на вероятность, равна единице. А иначе надо нормализовывать.

[sobriquet9]

Не надо читать 10 экранов, математики всё запутывают со своей бесконечностью. На практике количество денег конечно. Можно разобрать частный пример, когда в циркуляции есть, допустим, 10 монет. Тогда в конвертах может быть (1,2), (2,4), (3,6) или наоборот, (2,1), (4,2), (6,3). Выигрыш при смене первого конверта на второй +1, +2, +3, -1, -2, -3, в среднем ноль. Если в первом открытом конверте 6 монет, то в другом не может быть 12.

[michaelkoloboff]

По условию количество денег в розыгрыше неизвестно, открывая конверт с чеком на 6 тыс ты не можешь знать, что во втором не может быть чека на 12.

[sobriquet9]

Количество неизвестно, но известно, что оно конечно. Этого достаточно, приведённый аргумент работает для любого конечного количества денег.

Аргумент упрощён в том смысле, что распределение необязательно равномерное. Но при желании можно через всякие интегралы доказать, что с любым конечным распределением происходит то же самое (в частности об этом многобуков в википедии).

[none_smilodon]

Надо сразу выбирать вторую.

[michaelkoloboff]

Охуеть, дайте две! Надо сразу брать обе.

[sobriquet9]

На собеседовании программистам дают похожую задачку. Есть генератор случайных чисел, равномерно распределённых в диапазоне от 0 до 1. Вытаскиваем из него одно число, смотрим на него, потом или оставляем себе, или вытаскиваем другое и оставляем себе его (тут уже без вариантов). Найти алгоритм, при котором матожидание оставленного себе числа максимально (и чему оно равно).

[michaelkoloboff]

Вообще не думая, что-то в районе 0.62 (золотое сечение).

[sobriquet9]

Именно оно, и отсечка тоже золотое сечение.

[michaelkoloboff]

Походу есть у меня какое-то чутье на вероятности :) Хоть я и не настоящий сварщик.